[러너게인 블로그] Lecture 10. 행렬 A의 네 개의 주요 부분공간

학습 내용

1. 네개의 주요 부분공간
2. 주요 부분 공간들의 예시
3. 주요 부분 공간들의 기저와 차원

 

1. 네개의 주요 부분공간

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- Column space

- Null space

- Row space

당연한 말이다. 행열 바꿔서, Column space 구한것이 원래한테는 row space지. 

- Left Null space

전치 시킨 행렬의 null space

 

 

 

 

 

2. 주요 부분 공간들의 예시

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그러네.. 가만히 생각해보면, 한 예시로,

3x4의 경우, column vector들을 보면, 원소가 3개네. 즉, 3차원 공간상에 column vector 4개가 있는것이네. 

 

왜 Null space와 Row space, 

Column space 와 Left Null space가 서로 수직한지, 즉, 왜 걔네 둘씩 짝지어지는지 궁금할것이다. 

그 이유는 아래의 예시를 통해 알 수 있다. 

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예시

1) Row Space & Null Space

row space는 R^3 에 있지만, rank=2이기 때문에, 2차원 평면밖에 못그린다. 

근데 여기서, 3차원을 만드는 데 있어 부족한 한 차원은, A의 Null space 가 갖고있다!!!

 

(Null space도 원소가 3개지. 그러니 당연히 Null space와 Row space가 엮이는게 맞다.)

Null space 를 구해보니, 우리가 찾던, Row1과 Row2에 동시에 수직한, 3차원을 표현할 마지막 한 차원이 Null space임을 알게되었다. 

즉, 위에서 구한 (-1, 2, -1)은 평면위에 있는 두 벡터 (4,5,6)과 (1,2,3)에 동시에 수직하므로(내적=0), 평면에 수직인 하나의 벡터이다. 

 

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2) Column space & Left Null Space

Column space는 R^2에 존재할 수밖에 없는데, rank=2여서, 2차원을 전부 표현할 수 있는 상황이다. 그래서, Left Null space는 0차원이다(점이라는 소리)

 

 

 

 

 

3. 주요 부분 공간들의 기저와 차원

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참고 : Left Null Space라 부르는 이유

14의 꼴이여서. 그러나, 13의 꼴을 더 많이 쓴다. 

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출처

twlab.tistory.com/22?category=668741

[Linear Algebra] Lecture 8 선형방정식 Ax=b의 완전해(complete solution)와 Rank